Yleinen suhteellisuusteoria | Uusi Suomi Puheenvuoro
Rμv – 1/2 R gμv + Λ gμv = 8πG/c4 Tμv
Johdanto
Yleinen suhteellisuusteoria on yksi aikamme menestyneimmistä teorioista. Tähtien ympärillä kiertävien planeettojen kuvauksesta, mustien aukkojen ja edelleen pimeän energian ja pimeän aineen ennustamiseen sillä on erityinen rooli.
Se on kokeellisesti todennettu kerta toisensa jälkeen. Mutta siihen liittyvän matematiikan perusteet eivät ole yhtä helppoja kuin Newtonin painovoimayhtälöt. Ensi silmäyksellä yhtälö näyttää kauniilta ja tyylikkäältä, mutta kun lähtee etenemään yhtälön termien parissa on varmaa, että mieli menee ymmälleen?!
Tämän teorian muotoilu vaati Einsteiniltä lähes 10 – 15 vuotta kovaa työtä ja tiukkaa matematiikkaa, jolla hän saavutti tämä lopullisen yhtälön. Tämä ei kuitenkaan ollut täysin loppu.
Yhtälön oikea ratkaisu vaatii lisätarkastelua, parametrien asettamista ja laskelmia eri tapauskohtaisesti. Yleisen suhteellisuusteorian yhtälöt, joita usein kutsutaan Einsteinin kenttäyhtälöiksi, edustavat 10:tä epälineaarista osittaista differentiaaliyhtälöä, neljässä eri muuttujassa. Joten ennen kuin lähtee yrittämään ja saamaan järkeä itse yhtälöstä, silloin on jäljitettävä yhtälöiden ainesosat itsenäisesti.
Seuraava esitys sisältää lyhyen kuvauksen Einsteinin yleisen suhteellisuusteorian kenttäyhtälöistä.
(Rμv) = Riccin kaarevuustensori
Riccin kaarevuustensori määrittää geodeettisen pallon tilavuuden eron Riemannin geometriassa euklidisen geometrian tilavuuksiin. Se määrittää avaruuden aikakaarevuuden osan, jossa aine joko suppenee tai hajoaa ajassa. Einsteinin kenttäyhtälöissä se edustaa myös aineen määrää universumissa. Se on toisen asteen symmetrinen tensori, joka liittyy Riemannin monistimen kaareutumiseen.
Riemannin geometria on avaruus, jossa Riemannin tensori määrittelee tangenttiavaruuden sisätulona. Riemannin tensori mahdollistaa Riemannin geometriassa siihen vaikuttavien funktioiden tai divergenttivektoreiden tilavuuden, kaaren pituuden, gradientin jne. laskemisen. Se määrittää siis pinnan kaarevuuden pintaa pitkin kulkevan etäisyyden polkuintegraaleina, eikä pinnan sijaintia 3-ulotteisessa tilassa tarvitse ottaa huomioon. Riemannin kaarevuustensorin nollasta poikkeava supistumismuoto tuottaa myös Riccin kaarevuustensorin.
Euklidinen avaruus on kaksi- tai useampiulotteinen avaruus, jota edustaa euklidinen geometria. Euklidinen geometria koostuu vektoritasosta, jota edustavat suorakulmaiset koordinaatit joukossa reaalilukuja. Peruskäsite on avaruuden pisteen esitys (x,y,z) vektoriavaruuksina 3-ulotteisessa tasossa.
(R) = Skalaari kaarevuus
Skalaarikaarevuus (R) edustaa Einstein Hilbert -avaruuden Lagrangen tiheyttä. Yksinkertaistamiseksi se edustaa geodeettisen objektin pientä tilavuutta, joka vaikuttaa Riemannin geometriaan. Hiukkasen esitys euklidisessa avaruudessa tai Hilbert-avaruudessa jollain metriikassa yleistettynä on skalaaritensori tai skalaarikaarevuus.
Lagrange-tiheys on aika-avaruuden riippumattomien muuttujien formalismi, avaruuden tapahtumien muodossa (x,y,z,t).
(gμv) = Metrinen tensori
Metrinen tensori (gμν) on termi, joka pohjimmiltaan kertoo kahden geometrian kohteen välisen etäisyyden. Sitä voidaan pitää työkaluna, jolla voidaan karakterisoida avaruuden geometrisia ominaisuuksia, aritmeettisesti koordinaattijärjestelmässä Riemannin monistojen sisällä.
(Tμv) = Jännitysenergiatensori
Jännitysenergiatensori (Tμν) yleisen suhteellisuusteorian kenttäyhtälöissä kuvaa energiatiheyden ja liikemäärän virtaa aika-avaruudessa. Se on yleisen suhteellisuusteorian painovoiman lähde. Se on toisen asteen symmetrinen tensori, ja se voidaan esittää 4 x 4 -matriisilla.
Muut kenttäyhtälöissä käytetyt termit ovat universaali gravitaatiovakio (G), kosmologinen vakio (Λ) ja valonnopeuden termi (c).
Gravitaatiovakio (G) ja valonnopeutta ilmaiseva termi (c) ovat tuttuja termejä, kun taas kosmologinen vakio (Λ) edustaa tyhjän tilan tai tyhjiön massaenergian jakautumista. Einstein käytti sitä tasapainottamaan painovoiman aiheuttamaa avaruus-ajan supistumista. Kosmologisen vakion arvo määrittää myös aika-avaruuden laajenemisen tai supistumisen mahdollisuuden.
Nämä matemaattiset termit toimivat siten, että jännitysenergiatensori (Tμv) ohjaa metrisen tensorin seuraamaan skalaarikaarevuutta Riemannin monistimessa tai skalaarikaarevuuden metrinen esitys Riemannin monimuotoisuudessa käskee jännitysenergiatensorin liikkumaan.
Yksinkertaisesti sanottuna massa käskee avaruutta kaareutumaan ja itse asiassa kaareva tila käskee massan liikkumaan.
Yleisen suhteellisuusteorian yhtälöiden ratkaisut ovat kentän metrisen tensorin ratkaisuja. Nämä mittarit määrittävät esineiden liikkeen aika-avaruudessa ja aika-avaruuden kaarevuuden. Koska yhtälöt eivät ole lineaarisia, yhtälöiden tarkkoja ratkaisuja on erittäin vaikea löytää matemaattisesti. Yksi tapa ratkaista yhtälöitä on asettaa hypoteettisia oletuksia ja ratkaista yhtälöitä niiden perusteella.
Kaikki kaarevuustermit ja massaenergiatermit on järjestetty siten, että yhtälön vasen puoli edustaa kaarevuustermejä ja oikea puoli edustaa massa- ja gravitaatiotermejä. Se ei ole matemaattinen muotoilu, vaan itse matematiikan luonne, joka määrittelee itse termien vastaavuuden.
Joten tässä olen määritellyt termit, jotka sisältyvät yleisen suhteellisuusteorian kenttäyhtälöihin. Kun Einstein johti yleisen suhteellisuusteorian yhtälön, hän oli myös epävarma yhtälöiden ratkaisuista. Merkuriuksen perihelin kokeelliseen todentamiseen ja tähdistä tulevan valon taipumisen laskemiseen auringonpimennyksessä hän oli kuitenkin soveltanut yhtälöihin linearisointia, olettaen heikon gravitaatiokentän ja avaruusajan olevan Minkowskin avaruus.
Vaikka kuinka monimutkaisia nämä yhtälöt voivatkaan olla, vielä vuosisadan kuluttua nämä yhtälöt ovat osoittautumassa tärkeämmiksi kuin Einstein koskaan uskoi niiden olevan.
Ositettuna ja yksinkertaistettuna pohdintana
1. Rμv = 8πG Tμv
∂Tμv = 0
Joten energiassa ei ole muutosta!
Ongelma tulee jos otetaan:
∂Rμv ≠ 0
Joten yo. yhtälö 1. ei voi vielä olla täysin oikein?
Otetaan kovariantti derivaatta:
∇Tμv = 0, tällöin tarvitsemme jotakin vasemmalle puolelle yhtälöä!
Se mitä Einstein sittemmin löysi oli:
∇Rμv = 1/2 ∇gμv R
Eli ts. kovariantti derivaatta saadaan:
∇(Rμv – 1/2 gμω R) = 0
Joten vasemmalle puolelle saamme:
Rμv -1/2 gμv R = 8πGTμv,
Ja koska olemme 4- ulotteisessa avaruudessa, yhtälöön tule lisätä c4:
Rμv -1/2 gμv R = 8πG / c4 Tμv
Einstein kuitenkin unohti jotain, sillä:
∇gμv = 0
Siten:
Rμv – 1/2 R gμv + Λ gμv = 8πG/c4 Tμv
Missä:
Rμv – 1/2 R gμv = Gμv (Einstein tensori)
Lopuksi
On siis hyvin mielenkiintoista, että Einstein kykeni saavuttamaan näin vankan teorian, jota vielä tänä päivänäkin ihmetellään kuinka hyvin se pitää kutinsa!
