Vielä metrisestä tensorista (gμv) yleisessä suhteellisuusteoriassa
Vielä metrisestä tensorista (gμv) yleisessä suhteellisuusteoriassa
Kun ollaan aritmetisoitu avaruus mielivaltaisella koordinaattijärjestelmällä, on olemassa yksi tensori, jonka avulla voidaan määrittää perussuureita, kuten pituudet ja aika, johdonmukaisella tavalla riippumatta siitä, mitä koordinaattijärjestelmää käytetään.
Sitä tensoria, joka ”tarjoaa metriikan” tietylle koordinaattijärjestelmälle avaruudessa, kutsutaan metriseksi tensoriksi ja sitä edustaa pieni kirjain g.
Elementaarisen geometrian kielellä metriikka on eräänlainen taulukko, joka antaa jokaisen tapahtuman ja jokaisen muun tapahtuman välisen aikavälin.
Abstraktin differentiaaligeometrian kielellä metriikka on eräänlainen bilineaarinen kone, joka ottaa syötteeksi parin tangenttivektoreita u ja v pinnan pisteessä ja tuottaa reaaliluvun skalaarin g(u,v). Sitä voidaan pitää pistetulon yleistyksenä euklidisessa avaruudessa.
Koordinaattien kielellä, kun kanta on eμ (e0 , e1 , e2 , e3 ) tangenttiavaruudessa Ε , g-matriisin gμν -komponentit suhteessa tähän kantaan saadaan:
Metrisellä tensorilla on seuraavat ominaisuudet:
- se on symmetrinen gμv = gvμ (symmetrisen matriisin syötöt ovat symmetrisiä päädiagonaalin suhteen).
- käänteismatriisi merkitään gμv ja se määritellään seuraavasti abstraktissa merkinnässä:
Avaruus- ja aikaväli-invarianssi
Jotta ymmärretään metrisen tensorin rooli, on otettava huomioon vektori dr, joka ulottuu pisteestä toiseen. Tällöin differentiaalipituuselementin ds2 neliö voidaan kirjoittaa seuraavasti ja jos päätämme kirjoittaa vektorin dr käyttämällä kontravarianttikomponentteja ja koordinaattikantavektoreita ( ei ) saamme:
Siten:
Missä:
gμv edustaa metrisen tensorin kovarianttikomponentteja
Vaihtoehtoisesti metrinen tensori voidaan kirjoittaa käyttämällä kovarianttikomponentteja dxμ ja kaksoiskantavektoria eμ.
Hankalia nämä tensorit, mutta niin äärimmäisen tehokkaita. Metrinen tensori on ehkä kaikkein tärkein tensori yleisessä suhteellisuusteoriassa, jota lambda Λ (avaruuden laajetessa) ”venyttää”.
Mikä on lambdan Λ suuruus ja mitä se sisältää (pimeä energia ja aine), onkin sitten toinen kysymys ja vaatii kokonaan uudenlaista ajattelua ja ehkä täysin oman lukunsa.
